Definición: Programación lineal se refiere a elegir la mejor alternativa entre las alternativas disponibles, cuya función objetivo y función de restricción se pueden expresar como funciones matemáticas lineales.
Caso de maximización: Entendamos el caso de maximización con la ayuda de un problema. Supongamos que una empresa produce dos productos A y B. Para producir cada unidad del producto A, se requieren 4 kg de materia prima y 6 horas de mano de obra. Mientras que, para la elaboración de cada unidad del producto B, se requieren 4 kg de materia prima y 5 horas de mano de obra. La disponibilidad total de materia prima y horas de mano de obra es de 60 Kg y 90 Horas respectivamente (por semana). El precio unitario del Producto A es de 35 rupias y del producto B es de 40 rupias.
Este problema se puede convertir en un problema de programación lineal para determinar cuántas unidades de cada producto se deben producir por semana para obtener la máxima ganancia. En primer lugar, se formula la función objetivo. Supongamos que x1 y x2 son unidades producidas por semana del producto A y B respectivamente. La venta del producto A y el producto B produce Rs 35 y Rs 40 respectivamente. La ganancia total será igual a
Z = 35×1+ 40×2 (función objetivo)
Dado que la materia prima y la mano de obra tienen un suministro limitado, la relación matemática que explica esta limitación se llama desigualdad. Por lo tanto, las ecuaciones de desigualdad serán las siguientes:
El Producto A requiere 4 Kg de Materia Prima y el Producto B también requiere 4 Kg de Materia Prima; así, el consumo total es de 4×1+4×2, que no puede superar la disponibilidad total de 60 kg. Por lo tanto, esta restricción se puede expresar como:
4×1 + 4×2 ≤ 60
De manera similar, la segunda ecuación de restricción será:
6×1 + 5×2 ≤ 90
Donde se requieren 6 horas y 5 horas de mano de obra para la producción de cada unidad del producto A y B respectivamente, pero no puede exceder la disponibilidad total de 90 horas.
Así, el problema de programación lineal será:
Maximizar Z = 35×1+ 40×2 (beneficio)
Sujeto a:
4×1 + 4×2 ≤ 60 (restricción de materia prima)
6×1 + 5×2 ≤ 90 (restricción de horas de trabajo)
x1, x2 ≥ 0 (restricción de no negatividad)
Nota: Cabe señalar que “≤” (menor que igual a) El signo se usa ya que la producción que maximiza las ganancias puede no utilizar completamente todos los recursos, y algunos pueden quedar sin usar. Y se usa la condición de no negatividad ya que x1 y x2 son un número de unidades producidas y no pueden tener valores negativos.
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