¿Cuáles son las aplicaciones de la distribución t?

Definición: los distribución t es un método de distribución de probabilidad en el que se prueba la hipótesis de la media de una muestra pequeña, que se extrae de la población sistemática cuya desviación estándar se desconoce. Es una medida estadística que se utiliza para comparar los datos observados con los datos que se espera obtener de una hipótesis específica.

Aplicaciones de la distribución t

Las siguientes son las aplicaciones importantes de la distribución t:

Prueba de hipótesis de la media poblacional: (Tamaño de la muestra ‘norte’ es pequeño). Cuando la población se distribuye normalmente y la desviación estándar ‘σ ‘ es desconocido, entonces el estadístico «t» se calcula como:
Dónde,
X͞ = Media muestral
? = Media poblacional
norte = Tamaño de la muestra
S = Desviación estándar de la muestra calculada aplicando la siguiente fórmula:La hipótesis nula se prueba para comprobar si existe una diferencia significativa entre X͞ y?. Si el valor calculado de ‘t’ excede el valor de la tabla de ‘t’ en un nivel de significancia específico, entonces la hipótesis nula se rechaza considerando la diferencia entre X͞ y? Por otro lado, si el valor calculado de ‘t’ es menor que el valor de la tabla de ‘t’, entonces se acepta la hipótesis nula. Cabe señalar que esta prueba se basa en los grados de libertad, es decir, n-1.
Prueba de hipótesis de la diferencia entre dos medias: En Prueba de hipótesis sobre la diferencia entre dos medias extraídas de las dos poblaciones sistemáticas cuya varianza se desconoce, la prueba t se puede calcular de dos maneras:
Las variaciones son iguales: Cuando las varianzas de la población, aunque desconocidas, se toman como iguales, entonces el estadístico t que se utilizará es:Dónde,
X͞1 y X͞2 son las medias muestrales de la muestra 1 de tamaño n1 y la muestra 2 de tamaño n2.

S es la desviación estándar común obtenida al combinar los datos de ambas muestras y se puede calcular aplicando la siguiente fórmula:La hipótesis nula es que no hay diferencia entre dos medias y ‘se acepta cuando el valor calculado de’ t ‘a un nivel de significancia especificado es menor que el valor de la tabla de’ t ‘y se rechaza cuando el valor calculado excede el valor de la tabla .

Las variaciones son desiguales: Cuando las varianzas de la población no son iguales, usamos los estimadores insesgados S12 y S22. En este caso, el muestreo tiene una gran variabilidad que la variabilidad de la población y la estadística a utilizar es:

Dónde,

? 1 y? 2 son las dos medias poblacionales.

Es posible que este estadístico no siga estrictamente las distribuciones t, pero sin embargo, puede aproximarse mediante la distribución t con el valor modificado para los grados de libertad dado por:
Prueba de hipótesis de la diferencia entre dos medias con muestras dependientes: En varias situaciones, es posible que las muestras se extraigan de las dos poblaciones que dependen una de la otra. Por lo tanto, se dice que las muestras son dependientes, ya que cada observación incluida en la muestra uno está asociada con la observación particular en la segunda muestra. Por lo tanto, debido a esta propiedad, la prueba t que se utilizará aquí se llama prueba t pareada.
Esta prueba se aplica en las situaciones en las que se deben comparar experimentos antes y después. Por lo general, se adoptan dos métodos que están relacionados entre sí. La siguiente estadística se utiliza cuando las medias de ambos métodos aplicados son iguales, es decir,? 1 =? 2 Esta estadística sigue la distribución t con (n-1) grados de libertad, donde d͞ = media de las diferencias calculadas como:
S es la desviación estándar de las diferencias y se calcula aplicando la siguiente fórmula:

n = Número de observaciones pareadas.
Prueba de hipótesis sobre el coeficiente de correlación: Hay tres casos de prueba de la hipótesis sobre el coeficiente de correlación. Estos son:

Caso -1: Cuando el coeficiente de correlación de la población es cero, es decir, ρ = 0. El coeficiente de correlación mide el grado de relación entre las variables y cuando ρ = 0, entonces no existe una relación estadística entre las variables. Para probar la hipótesis nula que asume que no hay correlación entre la población, es necesario que se conozca el coeficiente de correlación de la muestra ‘r’. La estadística de prueba que se utilizará es:
Caso -2: Cuando el coeficiente de correlación poblacional es igual a algún otro valor, distinto de cero, es decir, ρ ≠ 0. En este caso, la prueba basada en la distribución t no será correcta y, por lo tanto, la hipótesis se prueba utilizando la transformación z de Fisher. Aquí la ‘r’ se transforma en ‘z’ por:

Aquí, loge es un logaritmo natural. El logaritmo común se puede cambiar a un algoritmo natural multiplicándolo por el factor 2.3026. Por lo tanto, loge X = 2.3026 log 10 X, donde X es el entero positivo Dado que, ½ X (2.3026) = 1.1513, se usa la siguiente fórmula de transformación:

La siguiente estadística se utiliza para probar las hipótesis nulas:

Esto sigue la distribución normal y se dice que la prueba es más apropiada siempre que el tamaño de la muestra sea grande.

Caso-3: Cuando se prueba la hipótesis para determinar la diferencia entre dos coeficientes de correlación independientes: Para probar la hipótesis de dos correlaciones derivadas de las dos muestras separadas, entonces la diferencia de los dos valores correspondientes de z debe compararse con el error estándar de la diferencia. Se utiliza la siguiente estadística:

Dónde,

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